In der Fuzzy-Mengenlehre müssen auch Mengenoperationen und Mengenknüpfungen möglich sein, da sie die scharfe, klassische Mengenlehre enthält.
(6) A, B = unscharfe, normalisierte Mengen.
μA(x), μB(x) = Zugehörigkeitsgrade des Elementes x zur unscharfen Menge A bzw. B.
x = betrachtetes Element.
G = Menge aller Elemente x, also die Grundmenge (scharfe Menge, enthält alle X vollständig).
min {…} = Minimum-Operator; wählt das Mimmum aus der nachfolgenden geschweiften Klammer.
max {…} = Maximum-Operator; wählt das Maximum aus der nachfolgenden geschweiften Klammer.
∀= Allquantor, gelesen “für alle”
∀x∈ G bedeutet also “für alle Elemente x aus der Menge G”.
(7) Vereinigungsmenge
A u B = {(X;μAUB(X))} ∀x ∈ G
(8) Schnittmenge
A n B = {(X; μAnB(x))} ∀x ∈ G
(9) Distributivgesetzte
a. A n (B u C) = (A n B) u (A n C)
b. A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
(10) Komplement
A = {(x); μ/A (x)} ∀x ∈ G mit μ/A (x) := 1 – μA(x) ∀x ∈ G
(11) Theorem von De Morgan
a. //A u B = /Ä n /B
b. //A n B= /Ä u /B
(12) Enthalten sein
A in B enthalten ⇔ μA(x) ≦ μB(x) ∀x ∈ G
(13) Produkt zweier Menge
A・B = {(x; μA・B(x))} ∀x ∈ G mit μA・B(x) := μA(x)・μB(x) ∀x ∈ G
Die Produktbildung normalisierter Fuzzy-Mengen ist kommutativ und assoziativ.
(14) Summe
A+B = {(x; μA+B(x))} ∀x ∈ G mit μA+B(x) := μA(x) + μB(x) – μA(x)・μB(x) ∀x ∈ G
Die Summenbildung normalisierter Fuzzy-Mengen ist kommutativ und assoziativ.
(15) Implikation
Wenn A dann B
Mathematisch: (x ∈ A) → (y ∈ B)
oder kurz A → B
wobei x, y Einzelelemente
X Grundmenge zu x, also x ∈ X
Y Grundmenge zu y, also y ∈ Y
A Teilmenge aus X, also A ⊂ X
B Teilmenge aus Y, also B ⊂ Y
花村嘉英著（2005）「計算文学入門－Thomas Mannのイロニーはファジィ推論といえるのか？」より translated by Yoshihisa Hanamura